Domande

1) Quali sono sono gli assiomi di Kolmogorov?

2) Quando due eventi si dicono indipendenti? 

3) Concetto di partizione di uno spazio campionario, fai un esempio 

4) Definisci il concetto di funzione densità di probabilità 

5) Distribuzione uniforme, con un esempio 

6) Distribuzione normale, caratteristiche

7) Cos'è un “Processo di Bernoulli”,

Risposte

1. Gli assiomi di Kolmogorov sono tre principi fondamentali che costituiscono la base della teoria delle probabilità secondo l'approccio assiomatico di Kolmogorov. Questi assiomi descrivono le proprietà delle probabilità di eventi in uno spazio campionario.

I tre assiomi di Kolmogorov sono i seguenti: a) L'assioma della non-negatività: La probabilità di un evento è sempre un numero non negativo. Quindi, per ogni evento A, la probabilità P(A) è maggiore o uguale a zero. b) L'assioma della normalizzazione: La probabilità dell'intero spazio campionario è uno. Quindi, la probabilità dell'evento sicuro (l'evento che sicuramente si verifica) è uno. In simboli, P(S) = 1, dove S rappresenta l'intero spazio campionario. c) L'assioma dell'additività: Se gli eventi A e B sono disgiunti (ovvero non possono verificarsi contemporaneamente), allora la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle loro probabilità individuali. Quindi, se A e B sono disgiunti, allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

2. Due eventi si dicono indipendenti se la probabilità che si verifichi l'uno non influisce sulla probabilità che si verifichi l'altro. Formalmente, gli eventi A e B sono indipendenti se e solo se la probabilità congiunta della loro intersezione è il prodotto delle loro probabilità individuali. In simboli, P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

3. Una partizione di uno spazio campionario è un insieme di eventi disgiunti la cui unione forma l'intero spazio campionario. In altre parole, una partizione divide lo spazio campionario in sottoinsiemi mutuamente esclusivi che coprono l'intero spazio. Ogni elemento di una partizione è chiamato un blocco. Ogni blocco rappresenta un possibile esito nel contesto di un'esperimento o di un fenomeno.

Ad esempio, consideriamo il lancio di un dado equo a sei facce. Uno spazio campionario possibile potrebbe essere {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Una partizione di questo spazio campionario potrebbe essere data dai seguenti eventi disgiunti: A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {5, 6}. In questo caso, gli eventi A, B e C formano una partizione dell'intero spazio campionario del lancio del dado, e ogni blocco rappresenta un possibile risultato del lancio.

4. La funzione densità di probabilità (PDF, Probability Density Function) è una funzione matematica che descrive la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. La PDF fornisce l'andamento della probabilità relativa a diverse regioni di valori della variabile casuale.

Formalmente, la funzione densità di probabilità f(x) di una variabile casuale X è definita come la derivata della funzione di distribuzione cumulativa F(x) di X rispetto a x. La PDF è non negativa per ogni valore di x e l'area totale sotto la curva della PDF è uno.

La funzione densità di probabilità viene utilizzata per calcolare la probabilità che la variabile casuale si trovi in un intervallo specifico. L'area sotto la curva della PDF all'interno di un intervallo corrisponde alla probabilità che la variabile casuale cada in quell'intervallo.

5. La distribuzione uniforme è un tipo di distribuzione di probabilità in cui tutti gli eventi o i valori di una variabile casuale hanno la stessa probabilità di occorrenza. In altre parole, ogni valore ha una probabilità costante e uguale di essere osservato.

Un esempio comune di distribuzione uniforme è il lancio equo di un dado a sei facce. Ogni faccia del dado ha la stessa probabilità di uscire, cioè 1/6. Quindi, la distribuzione dei risultati del lancio del dado è uniforme.

6. La distribuzione normale, nota anche come distribuzione gaussiana, è una delle distribuzioni di probabilità più importanti e ampiamente utilizzate. Caratterizza molte grandezze naturali e fenomeni nel mondo reale.

La distribuzione normale è simmetrica e ha una forma a campana. È completamente descritta da due parametri: la media (μ) e la deviazione standard (σ). La media determina il centro della distribuzione, mentre la deviazione standard controlla la dispersione dei dati intorno alla media.

La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale, spesso indicata come f(x), è data dalla formula:

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x - μ)² / (2σ²))

dove e è la costante di Nepero (e = 2.71828...), π è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro (pi greco), μ è la media e σ è la deviazione standard.

La distribuzione normale ha diverse proprietà interessanti, ad esempio, la maggior parte dei dati si concentra intorno alla media, seguendo il 68-95-99.7 regola empirica. Inoltre, molte distribuzioni naturali si approssimano a una distribuzione normale.

7. Un "Processo di Bernoulli" è un tipo di processo stocastico che descrive una sequenza di esperimenti ripetuti, in cui ogni esperimento può avere solo due risultati possibili, spesso indicati come "successo" e "fallimento". Il processo prende il nome dal matematico svizzero Jakob Bernoulli, che ha studiato approfonditamente i processi di questo tipo.

Le principali caratteristiche di un processo di Bernoulli sono:

• Ogni esperimento all'interno del processo ha solo due possibili esiti, spesso denotati come successo (S) e fallimento (F).
• Gli esperimenti sono indipendenti, il che significa che il risultato di un esperimento non influisce sugli esperimenti successivi.
• La probabilità di successo (p) rimane costante per ogni esperimento.

Un esempio comune di processo di Bernoulli è il lancio di una moneta equa. Ogni lancio ha solo due possibili esiti: testa (successo) o croce (fallimento). La probabilità di ottenere testa o croce è del 50% in ogni lancio e i lanci sono indipendenti l'uno dall'altro.